Родился 17 августа 1901 в деревне Сонино ныне Костромского района Костромской области в семье крестьянина. До 17 лет работал в деревне в хозяйстве родителей. В июне 1919 года был призван в ряды РККА, был направлен на учёбу на Костромские пехотные курсы комсостава, принимал участие в боевых действиях на Западном и Южном фронтах  под  Царицыным,  Петро-градом  и  Перекопом. В конце 1921 года закончил Армавирские пулеметные курсы комсостава, после чего с января 1922 года служил на должностях командира взвода и командира роты в составе 508-го стрелкового полка  (Приуральский военный округ). В августе 1922 года Скворцов был назначен на должность помощника командира отдельной Галичской караульной роты, а с мая 1923 года служил в 53-м стрелковом полку (18-я стрелковая дивизия, Московский военный округ).  В 1926 году Скворцов вступил в ряды ВКП(б). В ноябре 1931 года назначен на должность комиссара 10-го местного стрелкового батальона (Московский военный округ), в октябре 1933 года – на должность комиссара 26-го отдельного строительного батальона (Особый строительный корпус), после чего принял участие в ходе основании и строительства Комсомольска-на-Амуре.  В июне 1936 года был назначен на должность инструктора политического отдела Хабаровского гарнизона, а в январе 1938 года – на должность начальника группы контроля штаба ОКДВА. В ноябре 1939 года Скворцов был направлен на учёбу на курсы усовершенствования комсостава пехоты «Выстрел», после окончания которых в июле 1940 года был назначен на должность начальника группы контроля при Военном совете Дальневосточного фронта, а в сентябре того же года – на должность командира 70-го стрелкового полка в составе 3-й Крымской стрелковой дивизии Дальневосточного фронта. В августе 1942 года был назначен на должность командира 204-й стрелковой дивизии, которая во время Сталинградской битвы принимала участие в ходе оборонительных действий, а затем в контрнаступлении армии. Командуя дивизией, генерал-майор Скворцов отличился в битве за Днепр. Выписка из наградного листа: «78 гв. стрелковой дивизии была поставлена задача на плечах противника форсировать р. Днепр. Командир дивизии тов. Скворцов сумел по характеру боев и поведению противника, предвидеть возможность форсирования реки, мобилизовать командиров частей дивизии, выполнить форсирование, не смотря на отсутствие табельных переправочных средств. Умело используя данные разведки, тов. Скворцов правильно наметил места возможных переправ и высадки. В результате до 6.00  25.9.43 г. дивизия в составе 225 гв. СП 6 орудий 76 мм пушек, 4 ПТО форсировала реку и вышла на западный берег Днепра. Противник контратаковал части дивизии, поддерживая контратаки огнем 2 батарей, 2 самоходных пушек, 1 танка. Контратаки были отбиты, части дивизии крепко закрепили за собой рубеж на западном берегу у села Домоткань». Указом Президиума Верховного Совета СССР от 26 октября 1943 года гвардии генерал-майору Александру Васильевичу Скворцову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 1339). С декабря 1943 года Скворцов находился на излечении в госпитале в Москве, и после выздоровления в феврале 1944 года был направлен на учёбу в Высшую военную академию имени К. Е. Ворошилова, после окончания которой в апреле 1945 года был назначен на должность командира 26-го стрелкового корпуса (1-я Краснознамённая армия, Дальневосточный фронт). Во время советско-японской войны корпус под командованием Скворцова принимал участие в ходе Харбино-Гиринской наступательной операции.  В сентябре 1946 года был назначен на должность командира 11-го стрелкового корпуса в составе Московского военного округа. 19 декабря 1948 года генерал-майор Александр Васильевич Скворцов умер. Тело генерала было доставлено в Кострому, где 23 декабря и было похоронено на солдатском кладбище. В настоящее время могила находится у мемориала «Вечный огонь».  Скворцов А.В. награжден медалью «Золотая Звезда», двумя орденами Ленина, четырьмя орденами Красного Знамени,  Орденом Суворова 2 степени, Орденом Кутузова 2 степени, медалями. На доме, где жил Александр Васильевич Скворцов, установлена мемориальная доска. В его честь была названа улица в Костроме.